З.И. Докторович

Москва 2006 г.

http://www.doctorovich.biz/

 

Полная энергия прецессии гироскопа.

В работе дается определение понятия энергия прецессии гироскопов и приводится вывод математического выражения энергии прецессии.

In this work author gives the definition for precession energy of gyroscope and also adduces the mathematical expression for precession energy deduction.

 

 

Рассмотрим гироскоп, закрепленный за концы оси на растягивающих нитях, не препятствующих его собственному вращению. В начальный момент растягивающие нити и ось вращения гироскопа лежат на одной прямой. Изменим направление растягивающих нитей на угол a, не изменяя силы натяжения.

Согласно 2-му закону Ньютона динамики вращательного движения твердого тела [1; 2] имеем:

.                                                                               (1)

Или, что то же самое, для прецессии простого гироскопа:

[W ´ P] = M,                                                                         (2)

Где:

P  – главный момент импульса гироскопа;

M – момент внешней силы;

t   – время;

 - угловая скорость прецессии гироскопа по углу j.

Тогда:

([W ´ P] × da) = (M × da) = dA.                                           (3)

Где:

a  - угол между направлением растягивающей силы и осью гироскопа (амплитуда прецессии);

A – работа внешней силы.

Т.е., внешняя сила, отклоняя ось вращения гироскопа от начального пространственного направления, совершает работу, сообщая гироскопу энергию прецессионного движения.

Данный вид энергии прецессии гироскопа можно назвать  кинетической энергией прецессии гироскопа и обозначить Wпк:

dWпк = ([W ´ P] × da).                                                         (4)

Но, тот же момент силы, вызвавший прецессию, направлен таким образом, чтобы уменьшить амплитуду прецессии, создавая тем самым потенциальную энергию прецессии Wпп, равную:

dWпп = (M × da),                                                                   (5)

где:

M – момент внешней силы;

a - угол между осью прецессии и моментом импульса гироскопа (амплитуда прецессии).

Тогда, полную энергию прецессии “Wп” надо записать как сумму кинетической и потенциальной энергий прецессии.

Т.е.,

dWп = dWпк + dWпп = ([W ´ P] × da) + (M × da).                (6)

 

Но, из теории гироскопов имеем:

[W ´ P] = M.                                                                         (7)

 

И, следовательно, приращение полной энергии прецессии гироскопа равно

dWп = ([W ´ P] × da) + ([W ´ P] × da) = 2([W ´ P] × da)   (8)

и полная элементарная работа внешней силы по возбуждению прецессии гироскопа равна

dA = 2(M × da)                                                                      (9)

 

Таким образом, прецессия является специфическим видом движения гироскопа, связанным с перемещением его оси вращения, при сохранении в состоянии покоя одной точки, характеризуемым не только моментом импульса, угловой скоростью и амплитудой, но также и энергией, складывающейся из потенциальной и кинетической:

dWпк = ([W ´ P]da)  и  dWпп = (M × da).                (10)

 

 

Примеры применения полученных результатов для расчета энергии прецессии гироскопов.

Пример 1.

Расчет энергии прецессии простого гироскопа с покоящимся центром тяжести.

Пусть гироскоп закреплен за концы оси на растягивающих нитях, не препятствующих его собственному вращению.

В начальный момент растягивающие нити и ось вращения гироскопа лежат на одной прямой.

Изменим направление растягивающих нитей на угол a.

Как следствие возникает прецессия гироскопа.

Найдем величину полной энергии прецессии.

.

Т.е.

Wп = (1 – cos2a)WP.                                                            (11)

Т.к. при неизменной силе натяжения нити (длина нити много больше длины оси гироскопа) и неизменной величине главного момента импульса гироскопа угловая скорость прецессии постоянна, то энергия прецессии зависит только от угла прецессии a.

Нетрудно видеть, что энергия прецессии имеет максимум при a = 90°.

Тогда, максимальная энергия Wmп, запасенная прецессией простого гироскопа, при заданном натяжении нити, равна:

 

Wmп = WP.                                                                           (12)

Или, что то же самое, выраженное через циклическую частоту прецессии n:

Wmп = 2pPn.                                                                        (13)

 

Пример 2.

Энергия прецессии сферического гироскопа с покоящимся центром тяжести

В отличие от простого гироскопа, сферический гироскоп имеет две главные равноценные оси вращения [2] и, следовательно, при прецессии его момент импульса удваивается по сравнению с моментом импульса простого гироскопа.

Следовательно, полная энергия сферического гироскопа будет иметь тот же вид, что и для простого гироскопа, но умноженная на коэффициент 2.

Таким образом

Wп = 2(1 – cos2a)WP.                                                          (14)

Откуда следует, что максимальное значение энергии прецессии сферического гироскопа равно

Wmп = 2WP.                                                                         (15)

Или, что то же самое, выраженное через циклическую частоту прецессии n:

Wmп = 4pPn.                                                                        (16)

 

Приложение.

В работе [3] исходя из механико-электромагнитных свойств электрона и высокой стабильности частоты атомного излучения электромагнитных волн, было выдвинуто предположение прецессионного механизма излучения электроном в атомах.

В работе [4] была предложена физика формирования атомных электронных орбит, основанная на прецессионном механизме излучения, позволившая расчетным путем получить численные результаты, в точности совпавшие с экспериментальными,  что косвенно подтвердило правильность выбранной методики.

С целью же получения прямого подтверждения прецессионного механизма квантовых явлений достаточно сопоставить энергию межорбитальных переходов электрона в атоме с энергией прецессии гироскопов.

В работе  [3] было предложено соотношение, связывающее  энергию межорбитального излучающего перехода электронов в атоме с главным моментом импульса электрона, полученным средствами классической физики, и предполагаемой угловой скоростью прецессии электрона:

dЕ =4pPen = 2PeW,                                                              (17)

где:

 – величина главного момента импульса электрона, полученная средствами классической физики;

W  – предположенная угловая скорость прецессии электрона.

 

В свою очередь, полученное в настоящей работе выражение максимальной энергии прецессии сферического гироскопа имеет вид:

Wmп = 4pPn  = 2PW.                                                                       (18)

Где:

P – величина главного момента импульса сферического гироскопа;

W угловая скорость прецессии сферического гироскопа;

n  – циклическая частота прецессии сферического гироскопа.

 

Очевидно, что полученное в настоящей работе выражение максимальной энергии прецессии сферического гироскопа (18) полностью совпадает  с выражением разности энергий при излучающем межорбитальном переходе электрона в атоме (17).

Таким образом, с учетом результатов работы [4], доказан прецессионный механизм излучения электромагнитных волн электроном в атоме.

 

Литература

1) «Механика» С.П. Стрелков, изд-во «Наука», Москва 1975 г.

2) «Общая теория гироскопов и некоторых технических их применений» А.Н. Крылов и Ю.А. Крутков, изд-во АН СССР, 1932 г..

3) «Механико-электромагнитные свойства электрона и физический смысл постоянной Планка» З.И. Докторович, Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации"
("Engineering & Automation"). N4, 2005. Стр. 115-118, г. Москва.

4) «Движение в поле тяготения центральной симметрии» З.И. Докторович, Международный журнал "Проблемы машиностроения и автоматизации" ("Engineering & Automation"). N3, 2006., г. Москва.